1. Si consideri il seguente esperimento casuale: “si lancia tre volte una moneta”. Qual è lo spazio degli esiti di questo esperimento casuale? Si scriva esplicitamente l’evento “si ottengono più teste che croci”

2. Si consideri il seguente esperimento casuale: “Si tirano due dadi”. Si considerino gli eventi \(E =\) “la somma dei punteggi è dispari”, \(F =\) “il primo dado realizza un 1” e \(G =\) “la somma dei punteggi è 5”. Si descrivano gli eventi \(E\cap F\), \(E\cup F\), \(F\cap G\), \(E\cap F^c\) e \(E\cap F\cap G\)

3. Si consideri il seguente esperimento casuale: “Un sistema è composto da 4 componenti, ciascuno dei quali o funziona oppure è guasto. Si osserva lo stato dei componenti ottenendo un vettore \((x_1 ,x_2 ,x_3 ,x_4)\), dove \(x_i\) è 1 oppure 0 a seconda che il componente \(i\)-esimo funzioni oppure no”.
   1. Da quanti elementi è formato lo spazio degli esiti?
   2. Il sistema nel suo insieme funziona fintantoché entrambi i componenti 1 e 2 oppure entrambi i componenti 3 e 4 funzionano. Specifica tutti gli esiti dell’evento il “sistema funziona”.
   3. Sia \(E\) l’evento “i componenti 1 e 3 sono guasti”. Quanti esiti contiene?

4. Si dimostri che in uno spazio degli esiti \(\Omega\) dotato di una probabilità \(\mathbb{P}\), per ogni evento \(E,F\subset \Omega\) vale la disuguaglianza seguente \[P (E \cap F) \geq P (E) + P (F) - 1.\]

5. Un gruppo di 5 bambini e 10 bambine è in fila in ordine casuale, nel senso che tutte le 15! possibili permutazioni si suppongono equiprobabili.

• Qual è la probabilità che il quarto della fila sia un bambino?
• E il dodicesimo?
• Qual è la probabilità che un determinato bambino occupi la terza posizione?

6. In comune vi sono 5 alberghi. Se 3 persone devono scegliere un albergo in cui pernottare, qual è la probabilità che finiscano tutte in alberghi differenti? Che cosa stiamo assumendo senza dirlo esplicitamente?

7. La media campionaria del salario annuale di un gruppo di 100 lavoratori impiegati nell’amministrazione di una grande azienda è di 130000 dollari con una deviazione standard campionaria di 20000 dollari. Se si prende una persona a caso da questo gruppo cosa possiamo dire sulla probabilità che il suo salario sia

• tra i 90000 e i 170000 dollari.
• superiore a 150000 dollari?

8. In una certa regione vi sono due ditte che producono forni a microonde. Quelli della fabbrica A sono difettosi con probabilità 0.05, mentre quelli della fabbrica B, con probabilità 0.01. Supponi di aver acquistato due apparecchi prodotti dalla stessa ditta, che può essere la A o la B con probabilità del 50%. Se il primo microonde è difettoso, qual è la probabilità condizionata che sia difettoso anche il secondo?

9. Hai chiesto ad un vicino di innaffiare una piantina delicata mentre sei in vacanza. Pensi che senza acqua la piantina muoia con probabilità 0.8, mentre se innaffiata questa probabilità si ridurrebbe a 0.15. La tua fiducia che il vicino si ricordi di innaffiarla è del 90%.

1. Qual è la probabilità che la pianta sia ancora viva al tuo ritorno?
2. Se fosse morta, quale sarebbe la probabilità che il vicino si sia dimenticato di innaffiarla?

10. Una compagnia di assicurazioni classifica i suoi clienti in tre fasce: basso rischio, medio rischio, alto rischio. Le sue statistiche indicano che le probabilità che un cliente delle tre fasce abbia un incidente entro un periodo di un anno sono rispettivamente 0.05,0.15,e 0.30. Se il 20% dei clienti sono a basso rischio, il 50% a medio rischio e il 30% ad alto rischio, che percentuale dei clienti avrà mediamente incidenti in un lasso di un anno? Se un cliente non ha avuto incidenti nel 1987, qual è la probabilità che appartenga a cuascuna delle tre fasce?

11. Dimostra che se \(X_1\) e \(X_2\) hanno la stessa distribuzione, allora:

\(Cov (X_1 + X_2 , X_1 − X_2 ) = 0\)

12. Consideriamo una variabile aleatoria \(X\) che può assumere i valori \(1, 2\) o \(3\). Se sappiamo che \[P(X=1)=\frac{1}{3};\qquad P(X=2)=\frac{3}{7}\]

• Quanto vale \(p(X=3)\)?
• Disegnare (a mano..) il grafico di questa funzione di massa.
• Disegnare (a mano..) il grafico della relativa funzione di ripartizione.

13. La funzione di ripartizione di \(X\) è definita come segue. \[f(x) = \begin{cases}0 & x < 0\\ \frac{x}{2} & 0\le x < 1\\ \frac{2}{3} & 1 \le x < 2\\ \frac{11}{12} & 2 \le x < 3\\ 1 & 3 \le x \end{cases}\]

• Se ne tracci il grafico.
• Quanto vale \(P (X > 1/2)\)?
• Quanto vale \(P (2 \leq X \leq 4)\)?
• Quanto vale \(P (X \leq 3)\)?
• Quanto vale \(P (X = 1)\)?

14. Un tipo di prodotti vengono classificati a seconda dei loro difetti e della fabbrica che li ha prodotti. Sia \(X_1\) il numero (\(1\) o \(2\)) della fabbrica, e sia \(X_2\) il numero di difetti per pezzo (che possono essere da \(0\) a \(3\)), di un prodotto scelto a caso tra la totalità di quelli esistenti. La tabella seguente riporta la funzione di massa di probabilità congiunta per queste due variabili aleatorie discrete. Le righe si riferiscono alla variabile \(X_1\), mentre le colonne alla variabile \(X_2\)

1.1. Trova le distribuzioni marginali di \(X_1\) e \(X_2\).
1.2. Calcola media e varianza di \(X_2\).

15. Se un votante scelto a caso è favorevole ad una certa riforma con probabilità di 0.7, qual è la probabilità che su 10 votanti, esattamente 7 siano favorevoli?

Modelli di Variabili Aleatorie

16. Sia X una variabile aleatoria normale di parametri \(\mu\) = 10 e \(\sigma\) = 36. Calcola

• \(P (X > 5)\)
• \(P (4 < X < 16)\)
• \(P (X < 8)\)

17. Il numero medio di errori tipografici per pagina di una certa rivista è di 0.2. Qual è la probabilità che la pagina che ti accingi a leggere contenga:

• nessun refuso?
• 2 o più refusi?

18. Arrivi alla fermata dell’autobus alle 10, e sei certo che ne passerà uno in un momento distribuito uniformemente tra le 10 e le 10.30.

• Qual è la probabilità che tu debba aspettare più di 10 minuti?
• Se alle 10.15 l’autobus non è ancora arrivato, qual è la probabilità che tu debba aspettare almeno altri 10 minuti?

19. Il signor Jones è convinto che il tempo di vita di una automobile (in migliaia di chilometri percorse) sia una variabile aleatoria esponenziale di parametro 1/20. Il signor Smith ha una macchina usata da vendere, che ha percorso circa 10000 chilometri.

• Se Jones decide di comprarla, che probabilità ha di farle fare almeno altri 20000 chilometri, prima che sia da buttare?

20. Un’urna contiene M = 50 palline di cui K = 5 bianche. Estraggo una pallina dall’urna, ne controllo il colore e registro 1 se è bianca, registro 0 altrimenti; poi rimetto la pallina nell’urna.

• Che legge segue la variabile X =“la pallina estratta è bianca”?
• Simulare questo esperimento per 100 volte. (considerare che ciò equivale a generare un vettore di 100 valori estratti da una distribuzione bernoulliana di parametro p = 1/10).
• Controllare che i 100 risultati ottenuti (cioè le 100 osservazioni) hanno una distribuzione di frequenza “simile” a una legge bernoulliana di parametro p = 0.1.
• Tracciare il grafico della funzione cumulativa empirica e sovrapporlo a quello della funzione di ripartizione teorica.
• Controllare che la media e la varianza del campione generato si avvicinano al valore atteso e alla varianza del modello teorico che lo ha generato.

21. Sia X una variabile casuale binomiale di parametri n = 100 e p = 0.7.

• Tracciate la funzione di ripartizione di X.
• Calcolate, con un unico comando, i quartili di X, il decimo, il 35esimo e il 90esimo percentile di X, la moda di X.
• Calcolare la probabilità P (X ≤ 60)
• Calcolare la probabilità P (X > 88)
• Trovare il più piccolo valore x tale che P (X ≤ x) ≥ 0.9.